Significado de β

La ecuación de \(S\) expresa la velocidad con la que aparecen nuevos infectados y, como adelantamos antes, es una simple aplicación de la ley de acción de masas: la velocidad es proporcional a la concentración de reactivos (susceptibles e infectados, en este caso). Así, el coeficiente \(\beta\) es equivalente a la constante de velocidad de la reacción.

Significado de γ

Este coeficiente parece inocente y no lo es en absoluto. Como tasa de recuperación se puede deducir intuitivamente como el inverso del tiempo de recuperación (Figura 2).

Figura 2. Significado de γ. En el ejemplo anterior, como la duración de la enfermedad es 5 días, cuando pase un día se recuperarán 7 de los 35 infectados, es decir \(\frac{1}{5}\), de modo que \(\gamma\) es, intuitivamente, el inverso de la duración de la enfermedad. Este razonamiento asume que hay infectados recientes y veteranos en la misma proporción (los puntitos rojos se distribuyen homogéneamente en el plazo de convalecencia) o que la probabilidad de recuperación es independiente del tiempo de convalecencia. No es difícil demostrar que esta premisa se cumple siempre en un estado estacionario pero, como la epidemia cursa en forma de onda, esto supondrá un problema que solucionaremos más adelante.

Entonces, la recuperación de infectados \(-\gamma I\) tendría una dinámica de orden 1, que en ausencia de otro proceso aparecería como una caída exponencial y la evolución del número de infectados con el tiempo sería

\[ I = I_0 e ^{-\gamma t} \] donde \(I_0\) representa a los infectados iniciales a partir de los que se tiene en cuenta el tiempo. La gráfica no tiene mucho misterio (Figura 3).

Figura 3. Dinámica de \(I\) cuando no hay nuevos contagios y la probabilidad de recuperación es constante e independiente del tiempo que pasa un individuo infectado. Es un proceso exponencial donde el tiempo en que se reducen los infectados a la mitad es exactamente \(\frac{\ln 2}{\gamma}\) (compruébalo tú mismo). Si piensas un poco en lo que ocurre realmente, verás inmediatamente una inconsistencia grave. Si no te das cuenta ahora, no te procupes que lo resolveremos más abajo.

Características de la dinámica epidémica

En la Figura 4 destacan los rasgos dinámicos de toda epidemia: el inicio exponencial, el pico de infectados y el descenso final hasta la desaparición de la enfermedad en la población. En este modelo aparece una curva asimétrica: el inicio es mucho más empinado y el descenso es más lento. La razón es que el contagio depende del cuadrado de los individuos mientras que la recuperación es una función lineal. Esta característica puede ser irreal y la resolveremos más abajo. Un factor clave es la densidad de población, que determina si se da o no la propagación epidémica y también influye en los susceptibles que se libran de la enfermedad.

El factor R₀

La mayor virulencia en poblaciones grandes se puede intuir fácilmente: si en el ejemplo un intectado contagia a 2 personas en una ciudad de 1000 habitantes entonces, en una de 8000 (8 veces más poblada) contagiará a 16 (8 veces más) y, por tanto, la velocidad de propagación será 8 veces mayor que en la ciudad de 8000 almas.

El factor por el que se multiplica la infección (o número de individuos contagiados por un mismo infectado) se denomina \(R_0\) y vemos que es directamente proporcional a la densidad de población.

En el ejemplo académico teníamos \(R_0 = 2\) y la población era de 1000 habitantes y hemos hecho el cálculo para la población de 8000. Por curiosidad, apliquémoslo a las otras poblaciones:

¡Ah migo! En la última línea tenemos la explicación del fracaso de la epidemia en la ciudad pequeña: si diez infectados solo son capaces de contagiar la enfermedad a 8, está claro que la epidemia no se producirá. Para que explote la epidemia, \(R_0\) debe ser mayor que 1. Ni siquiera hay epidemia cuando \(R_0 = 1\).

En efecto, como depende directamente de \(S\) y éstos van siempre disminuyendo, el factor \(R_0\) también va disminuyendo desde el inicio de la epidemia. Veámoslo en el ejemplo académico:

Figura 5. Evolución de \(R_0\). El mismo gráfico del ejemplo académico (1000 susceptibles), pero ahora con el valor de \(R_0\) superpuesto. Su curva es idéntica a la de \(S\), de hecho, es la misma multiplicada por \(\beta/\gamma\). Observa que, justo cuando \(R_0\) cruza el umbral de 1, la epidemia alcanza su pico y comienza a declinar. Si te fijas, una vez finalizada la epidemia, \(R_0\) sigue siendo mayor que cero, ¿tiene sentido?

Umbral epidémico

Entonces, para que se propague una enfermedad de forma epidémica debe ocurrir que \(R_0 > 1\), Esta condición, en el modelo que hemos descrito, es equivalente a

\[ S > \frac{\gamma}{\beta} \]

Cuando la densidad de población supera este umbral, se produce la epidemia.

Figura 6. Umbral epidémico. Prueba con distintos valores iniciales de \(S\) e \(I\) moviendo los puntos verde y rojo, también variando \(\beta\) y \(\gamma\) con los cursores. Verás que el valor \(\gamma/\beta\) fija el umbral que desencadena la epidemia. Si \(S\) está por encima, como siempre disminuye, llegará un momento en el que iguale a \(\gamma/\beta\). Justo entonces se alcanza el pico de la epidemia y ésta comienza a decaer. Si el valor inicial de \(S\) está por debajo, no se produce la epidemia ¡por muchos infectados que haya!.

Infectados <- c(1, 4, 6, 6, 6,  7, 7, 9, 18, 22, 27, 42, 59, 77, 97, 128, 180)
tiempo <- 0:16

#---- definir la suma de diferencias cuadraticas como función
SDC <- function(par) {
  I <- par[1]*exp(par[2]*tiempo)
  sum((Infectados - I)^2)
}

#---- buscar los parámetros que la minimizan
ajuste <- optim(par = c(1, 0.1), SDC)
I0 <- ajuste$par[1]
a <- ajuste$par[2]

Endemia

La enfermedad contagiosa, entonces, siempre está presente en la población y por ello recibe el nombre de endemia. Las endemias son una forma de regulación poblacional y es probable que, evolutivamente, sean inevitables.

Variaciones de una endemia

En el caso anterior la endemia se mantiene en la población en forma de brotes episódicos, aunque hay otras variantes que son más estables. Veamos una de ellas donde los infectados también se reproducen.

Si considermos esta posibilidad, la variante más interesante surge cuando los descendientes de infectados no portan la enfermedad sino que nacen susceptibles porque si nacieran infectados, el caso no tendría interés (sería equivalente al primer ejemplo, ¿intentas demostrarlo?).

Veamos las ecuaciones y la dinámica:

\[\begin{align} \frac{dS}{dt} &= r (S + I) - \beta S I \\[7pt] \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \gamma I \\[7pt] \frac{dR}{dt} &= \gamma I \end{align}\]

Los infectados se reproducen y sus descencientes nacen susceptibles. En contra de lo que podríamos intuir, esta variante introduce un elemento de estabilidad en la población que, aún estando controlada por la endemia, lo hace de manera que las oscilaciones se amortiguan apaulatinamente.

El problema de γ

Este coeficiente es el mayor problema del modelo SIR. En la Figura 2 se explica intuitivamente como el inverso del tiempo de convalecencia y aquí está el detalle: \(\gamma\) solo se puede considerar constante si se cumple alguna de estas dos condiciones:

• El número de infectados está en estado estacionario.
• La probabilidad diaria de recuperación es independiente del tiempo de convalecencia.

Y ninguna es verosímil en una epidemia real.

¡Algo no cuadra!

En un pueblo con 1000 habitantes susceptibles se contagian 10 el primer día. La enfermedad dura 5 días. ¿Cuántos se habrán recuperado al segundo día?

No hay que un hacha para deducir que ninguno, ¡tienen que pasar 5 dias!. Sin embargo, como \(\gamma\) = 0.2, el modelo SIR predice que el segundo día habrá 2 recuperados.

Tránsito de los convalecientes. A la izquierda, la dinámica realista, a la derecha, con un tiempo fijo para cada infectado. A la izquierda, la supuesta por las ecuaciones SIR, con una probabilidad diaria \(\gamma\) de recuperación individual.

Para corregir este problema hay que considerar que los infectados que se recuperan por unidad de tiempo son los que se infectaron exactamente hace 5 días (en el ejemplo). Esto se podría escribir en forma de ecuaciones como:

\[\begin{align} \frac{dS}{dt} &= - \beta S I \\[7pt] \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \beta S_{5} I_{5} \\[7pt] \frac{dR}{dt} &= \beta S_{5} I_{5} \end{align}\]

donde \(S_{5}\) e \(I_{5}\) son, respectivamente, el número de susceptibles e infectados 5 días antes de ahora. Estas expresiones, un tanto extrañas desde el punto de vista diferencial, no suponen problema alguno a la hora de integrarlas numéricamente. Solo hay que añadir unas cuantas líneas al código del modelo SIR original:

# INTEGRACIÓN DE LAS ECUACIONES S.I.R.

#---- tiempo final
tiempo_final <- 80
t <- seq(from = 1, to = tiempo_final)

#---- condiciones iniciales y valores de coeficientes
S <- numeric()
S[1] <- 999 # susceptibles iniciales
I <- numeric()
I[1] <- 1      # infectados iniciales
R <- numeric()
R[1] <- 0      # retirados iniciales
beta <- 0.0004
gama <- 1/5

#---- bucle integración Euler SIR gamma
for (i in 1:(length(t)-1)){
  contagios <- beta*S[i]*I[i]
  retirados <- gama*I[i]
  S[i+1] <- S[i] - contagios
  I[i+1] <- I[i] + (contagios - retirados)
  R[i+1] <- R[i] + retirados
}

#---- gráfico SIR gamma
par(bty = "n", las = 1)
plot(t, S, ylim = c(0, 1000), type = "l", col = "green", lty = 2, xlab = "Tiempo (días)", ylab = "Individuos")
lines(t, R, col = "grey", lty = 2)
lines(t, I, col = "red", lty = 2)
legend("topright", c("S","I","R"), lwd = 2, col = c("green", "red", "grey"), cex = 0.8, bty = "n")

#---- modelo con desfase

S[1] <- 999    # susceptibles iniciales
I[1] <- 1      # infectados iniciales
R[1] <- 0      # retirados iniciales
conv <- 5      # tiempo de convalecencia


#---- bucle integración Euler SIR desfase
for (i in 1:(length(t)-1)){
  contagios <- beta*S[i]*I[i]
  retirados <- 0
  if (i > conv) {
    retirados <- beta*S[i - conv]*I[i - conv]
  }
  S[i+1] <- S[i] - contagios
  I[i+1] <- I[i] + (contagios - retirados)
  R[i+1] <- R[i] + retirados
}

#---- gráfico
lines(t, S, col = "green", lwd = 2)
lines(t, R, col = "grey", lwd = 2)
lines(t, I, col = "red", lwd = 2)

Figura 9. Comparación del modelo SIR clásico y el de ecuaciones desfasadas. Aunque el resultado final es idéntico, la dinámica del modelo con ecuaciones desfasadas (líneas continuas) es mucho más rápida porque no sufre el efecto amortiguador de la salida prematura que provoca \(\gamma\). Y la curva epidémica es, como ya sospechábamos, simétrica. Esta figura se ha hecho con R, pero si no te mola puedes probar con la figura interactiva de abajo:

Figura 9 interactiva. Observa que también hay dos parámetros, no está \(\gamma\) sino el tiempo de desfase, en este caso, la duración de la fase infecciosa o convalecencia \(c\). Cuanto más dura la fase infecciosa mayor es el pico, aunque el final de la epidemia no se afecta tanto como al usar \(\gamma\).

Reinfección y desfase

¿Qué efecto tiene este nuevo planteamiento sobre las epidemias con reinfección?

Al considerar el periodo de inmunidad \(v\), tendríamos una salida de \(R\) igual a la entrada que se produjo en un tiempo \(v\) anterior y, como ésta es justo la entrada a \(I\) en un tiempo de convalecencia \(c\) anterior, resulta que la salida de \(R\) sería \(\beta \, S_{c+v} \, I_{c+v}\).

Creo que ve mejor en un diagrama:

Figura 10. Tiempo de desfase y estados. El paso de \(S\) a \(I\) es instantáneo. Ahora permanece en estado infectado durante \(c\) días, al cabo de los cuales se recupera. Estará en estado \(R\) durante \(v\) días, para volver a estado \(S\). Así, desde que se infecta hasta que vuelve a ser susceptible, pasan \(c+v\) días.

Las ecuaciones quedarían así:

\[\begin{align} \frac{dS}{dt} &= \beta S_{c + v} I_{c + v} - \beta S I \\[7pt] \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \beta S_{c} I_{c} \\[7pt] \frac{dR}{dt} &= \beta S_{c} I_{c} -\beta S_{c + v} I_{c + v} \end{align}\]

No es difícil adaptar el código anterior para integrarlas (es cuestión de ser ordenado, ¡inténtalo!). Si no te atreves, prueba al menos la dinámica interactiva y observa cómo se producen oleadas periódicas.

Figura 11. Endemia con reinfección basada en diferenciales con retardo. La pérdida de inmunidad pasado cierto tiempo se manifiesta en una serie de oleadas epidémicas, que pueden mantenerse indefinidamente para algunas combinaciones de coeficientes (es un modelo de comportamiento complejo y, por ahora, queda fuera de nuestra capacidad de análisis). Si te acuerdas, en el modelo con \(\gamma\) se amortiguaban las oleadas injustificadamente. Este modelo refleja con mayor realismo lo que ocurre, por ejemplo, con la gripe o el covid.

Modelos basados en individuos

Tratar a una población con reglas basadas en la cinética química puede ayudar a comprender los elementos básicos de la epidemia pero le queda muy lejos la descripción de dinámicas complejas, como las que aparecen al considerar la heterogeneidad espacial. El tratamiento del espacio con diferenciales es una tarea ardua y también nos queda un poco lejos (por ahora). Sin embargo, hay una técnica de simulación que abre un montón de posibilidades: los modelos basados en individuos. Aquí no se trata con propiedadades globales, al contrario, cada individuo se comporta de forma simple, de acuerdo a unas reglas sencillas. Así, del comportamiento colectivo de entes sencillos surgen dinámicas complejas.

Cuando se describe el fenómeno epidémico desde la mecánica basada en individuos se disfruta de unos axiomas más intuitivos:

• Los individuos se mueven al azar por su pueblo.
  
• Cuando un infectado contacta con un susceptible lo puede contagiar con cierta probabilidad.
  
• Después de un periodo de convalecencia, el infectado se recupera y ya no contagia más.

Son unas reglas muy sencillas que desencadenan dinámicas muy realistas gracias a un gran número de individuos. La única dificultad, más que matemática, es puramente técnica: necesitamos saber algo de programación. El vídeo que está al principio del episodio está hecho con R. Aquí tienes una versión simplificada del código:

# MODELO S.I.R. BASADO EN INDIVIDUOS
# Modelo básico para explicar el desarrollo de una epidemia
# (sin vídeo)


#---- tiempo final y tamaño del pueblo
tiempo_final <- 150
xmax <- 60                    # ancho del pueblo (desde x = 1 hasta x = 100)
ymax <- 60                    # largo "     "    (desde y = 1 hasta y = 100)
XY <- matrix(0L, xmax, ymax)   # el pueblo, propiamente dicho

#---- variables
St <- integer()
It <- integer()      # para guardar los valores de S, I, R a cada tiempo
Rt <- integer()

x <- integer()      # posición x de los individuos
y <- integer()      #     "    y      "       "
estado <- integer() # estado del individuo  S:0  I:1  R:2
conval <- integer() # tiempo que lleva de convalecencia

#---- coeficientes y demás
p <- 0.9                 # probabilidad de contagio
d <- 15                  # duración de la enfermedad
mov <- c(-1, 0, 1)       # movimiento (una casilla pacalao)
pmv <- c(0.4, 0.2, 0.4)  # probabilidad de moverse en cada dirección XY

#---- condiciones iniciales
N <- 1000      # número total de individuos
S <- N - 1     # susceptibles iniciales
I <- 1         # infectados      "
R <- 0         # retirados       "
St[1] <- S
It[1] <- I
Rt[1] <- R

# Localizar a los individuos
for(i in 1:N){
  x[i] <- floor(xmax*runif(1) + 1)
  y[i] <- floor(ymax*runif(1) + 1)
  estado[i] <- 0
  XY[x[i], y[i]] <- i  # localizar al último en llegar
}

# infectados
for(i in 1:I){
  x[i] <- floor(xmax*0.5 + 1)  
  y[i] <- floor(ymax*0.5 + 1)
  estado[i] <- 1
  XY[x[i], y[i]] <- i              
  estado[i] <- 1
  conval[i] <- 0
}

#---- BUCLE DEL TIEMPO
for(t in 2:tiempo_final){
  
  XY1 <- XY     # para hacer las operaciones sincronizadas
  XY[] <- 0L    # borrar la matriz
  
  #---- bucle de los individuos
  for(i in 1:N){
    
    # comprobar convalecencia
    if(estado[i] == 1) {# solo para infectados
      conval[i] <- conval[i] + 1
      if(conval[i] > d) {# se recupera
        estado[i] <- 2
        I <- I - 1
        R <- R + 1
      }
    }
    
    # movimiento al azar
    dx <- sample(mov, size = 1, prob = pmv)
    dy <- sample(mov, size = 1, prob = pmv)
    x[i] <- x[i] + dx
    y[i] <- y[i] + dy
    if(x[i] > xmax) {x[i] <- 1} # por si se sale por los lados
    if(x[i] < 1) {x[i] <- xmax}
    if(y[i] > ymax) {y[i] <- 1} # por si se sale por arriba/abajo
    if(y[i] < 1) {y[i] <- ymax}
      
    # detectar encuentro
    o <- XY1[x[i], y[i]]
    if(o > 0) {
      if(o != i) { # se ha encontrado con otro
        # se lo pego
        if((estado[i] == 1) & (estado[o] == 0)){
          if(runif(1) < p){
            estado[o] <- 1
            conval[o] <- 0
            I <- I + 1
            S <- S - 1
          }
        }
        # me lo pega
        if((estado[o] == 1) & (estado[i] == 0)){
          if(runif(1) < p){
            estado[i] <- 1
            conval[i] <- 0
            I <- I + 1
            S <- S - 1
          }
        }
      }
    }
    
    XY[x[i], y[i]] <- i   # actualizar localización
  }
  
  St[t] <- S
  It[t] <- I    # guardar valores
  Rt[t] <- R
  
}

#---- gráfico final
par(bty = "n", las = 1)
plot(St, type = "l", lwd = 2, col = "green", ylim = c(0,N), xlab = "Tiempo", ylab = "Individuos")
lines(It, lwd = 2, col = "red")
lines(Rt, lwd = 2)
legend(0, N/2, c("S", "I", "R"), lty = c(1, 1, 1), lwd = c(2, 2, 2), col = c(3, 2, 1), bty = "n", cex = 0.8)

Figura 12. Simulación basada en individuos. Con los titubeos debidos al azar, el patrón de la epidemia aparece claramente.

La Figura 12 muestra una sola simulación y, como el azar juega un papel importante, el resultado será ligeramente distinto si se vuelve a repetir. Aún así, ¿notas algo diferente en la forma de la curva epidémica?

Veamos la media de 100 simulaciones:

Figura 13. Promedio de 100 simulaciones. Se parece al modelo SIR con diferenciales peeerooo… ¡El inicio de la epidemia es demasiado lineal!

El sorprendente resultado es consecuencia de la estructura espacial: aunque haya muchos susceptibles, cada infectado solo puede acceder a los que están más cerca de él, que es una cantidad constante. Esto se traduce en un frente de llama que avanza sobre un bosque de susceptibles dejando tras sí un prado de recuperados. El modelo basado en la ley de acción de masas es incapaz de reproducir este resultado porque, en su naturaleza, un infectado puede acceder a cualquier susceptible independientemente de lo lejos que se encuentre.

Veamos ahora qué pasa cuando disminuye la probabilidad de contagio y aumenta la duración de la enfermedad. Intuitivamente, esto significa que el infectado se moverá más lejos y podrá acceder a susceptibles más distantes. ¿Tendremos un inicio exponencial?

Figura 14. Disminuye probabilidad de contagio pero aumenta duración de la enfermedad. ¡Efectivamente, el inicio de la epidemia ahora es exponecial!

¿Y el final de la epidemia? Parece que, independientemente de cómo sea el inicio, la caída no concuerda con la dinámica simple \(-\gamma I\), sino que es mucho más rápida, cosa que concuerda con la duración fija de la fase contagiosa. Vamos a controlar ahora la media del día infeccioso en que se encuentran los individuos.

Distribución del tiempo de convalecencia. Histograma en tiempo real. El eje de abscisas representa el día de la fase infecciosa en que se encuentra cada individuo. En ordenadas, el número de individuos que están en ese día. La línea roja representa el valor medio del histograma.

En el vídeo se ve que al principio de la epidemia los infectados llevan poco tiempo en esa fase. Conforme pasan los días, estos individuos se van acercando al final de la fase mientras entran nuevos infectados por la izquierda. En el momento álgido de la epidemia, el valor medio coincide con la mitad de la duración de la fase y solo aquí tendría sentido aplicar \(\gamma\) como el inverso del tiempo de convalecencia. Antes de ese momento, el valor equivalente de \(\gamma\) sería menor (recuperación media más lenta) y a partir de ahí, \(\gamma\) sería mayor (recuperación media más rápida). La simulación basada en individuos es otra prueba de que el modelo SIR simple no es realista porque el coeficiente \(\gamma\) no puede ser constante.

Figura 15. Recuperación de infectados. El modelo diferencial SIR (naranja) con \(\gamma\) constante dispersa en el tiempo la aparición de recuperados al considerar homogéneo el grupo de infectados, por eso se adelanta y se retrasa con respecto al modelo más realista (azul claro).

1. «El médico»

Uno de los personajes reales del famoso libro de N. Gordon es el sabio persa Avicena, que en la novela aparece como médico y maestro de Isfahán sobre el año 1000. En uno de los pasajes de la versión peliculera, se desata una epidemia de peste bubónica en Isfahán y Avicena convierte su madrasa en hospital. Avicena lleva la cuenta de muertos diarios en una pared, haciendo rayitas con una tiza. Las columnas de rayas van en aumento hasta que un día empiezan a disminuir. Cuando se da cuenta, traza el contorno de las barras y así dibuja la primera curva epidémica de la historia.

Calcula los coeficientes de la epidemia que sufrió Isfahán

2. Un examen venido del cielo

Un profesor de ecología que estaba empanao se dejó el examen final en la fotocopiadora, con tal fortuna que lo encontró Pepe Lehninger, un estudiante de buen corazón. A Pepe se le planteó el dilema de quedarse el hallazgo para su beneficio o compartirlo con sus compañeros.

La decisión no era fácil: si lo compartía con todos se descubriría el ecoleak y se podría anular la prueba; si se lo quedaba para él, su conciencia lo castigaría durante el resto de su vida. Así que tomó una decisión salomónica y se lo envió a sus 3 contactos más auténticos del Guas-One, la red social del momento, bajo promesa de no difundirlo absolutamente a nadie más.

«A nadie más» ¡Ja!

Los amigos de Pepe eran casi tan bondadosos como él y no pudieron evitar la tentación. Entre consultar el Guas-One, descargar el archivo, comprobar que no era fake y reguasearlo a sus propios contactos, podían pasar unos 20 minutos. Faltaban menos de 24 horas para el examen y cabía la posibilidad de que algunos compañeros hubieran tirado la toalla, aún contando con la copia del examen y, por tanto, perdiendo el interés por reguasearlo (la tasa de resignación era del 20 %).

¿Llegará el examen a tiempo para los 120 estudiantes de la asignatura?

3. Dilemas de guionista

Después de pasarlas canutas durante la huelga, Jorgelina Lucas recibió el encargo de escribir un guión para una nueva serie de Güinflix con la expresa obligación de respetar escrupulosamente el rigor científico pero sin perder la masacre sanguinolenta marca de la casa.

Enseguida, J. Lucas pensó en una pandemia de un virus ébola mutante, que llegaba a Nueva York y derretía los sesos de la peña antes de que pudieran sonarse los mocos. ¡Original, oiga! Y llamó a un amigo que había estudiado biología para que le echase una mano.

―¡El virus lo crean con CRISPs/Cas9 y se escapa del laboratorio en las chancletas del ayudante! ―dijo Aurelio, su amigo, entusiasmado―. ¡Y se sube al autobús que va a Brooklyn!

―¡Eso, con crispis! ¡Y lo pilla todiós! ―exclamó Jorgelina―. ¡Y el laboratorio secreto está en un almacén abandonado de Harlem!

―¡Entonces ―añadió Aurelio, enarbolando el índice derecho―, la científica jefe explica al presidente en una pizarra las ecuaciones matemáticas que predicen la apocalipsis global!

―¿Ecuaciones…? ¿…matemáticas? ―preguntó Lucas con gesto dubitativo.

―¡Pos claro! ―contestó Aurelio.― ¡Se rilarán por las patabajo cuando se enteren del R₀ del virus mutante!

―No sé, no sé… ―dijo Lucas bajando el labio inferior hacia una esquina de la boca.

―¿Pero no te han dicho que debe ser rigurosamente científica? ―se justificó Aurelio.

―Ya, pero es que la gente cambia de serie cuando ven matemáticas y cosas desas ―explicó Jorgelina― y encima clican en 👎.

―Bueno… en vez de la pizarra velleda podría salir una pantalla holográfica 3D ―dijo Aurelio haciendo cucamonas virtuales en el aire, como si abriera alacenas imaginarias, moviendo chichinabis ilusorios de aquí para allá.

―¡Eso está mejor! ―concedió Jorgelina―. Pero sin pasarse con los detalles matemáticos. Que salga un formuleo de farfolla, en fosforito, con cosas de inteligencia artificial y tal.

―Podría salir un mapa de Nueva York y cómo se va extendiendo la epidemia. En rojo y todo eso, ¿qué te parece? ―dijo Aurelio.

―¡Y que los militares de la reunión digan que habrá que lanzar misiles y movilizar a la guardia nacional para detener la epidemia! ―añadió Lucas.

―Hombre… ―dudó Aurelio―. ¿Cuánto tiempo pasa entre que se infectan y mueren?

―No lo había pensado… ―contestó J. Lucas―. A ver esto… A los diez minutos de contagiarse, les salen burujones sanguinolentos por toslaos, empiezan a gomitar cuajarones verdes, se les caen las orejas y a la media hora se licúan dejando un charco baboso. Y corrosivo, tal vez…

―En Brooklyn… uhm… a ver… ―murmuró Aurelio mientras hacía numerillos en una servilleta del Grumpy―. No es posible, Jorgelina.

―¿Cómo que no es posible? ―bramó Jorgelina―. ¡Tú no sabes el equipo de efectos especiales que tiene Güinflix¡

―No lo dudo, pero no es por eso ―repuso Aurelio, enseñándole la servilleta.

¿Por qué no era posible?

―¿Más tiempo? ―preguntó Lucas―. Pero los episodios duran veinte minutos, ¡los personajes no pueden andar deambulando por ahí sin hacer nada más que hablar de sus sosas vidas! ¡Tiene que haber cacao instantáneo!

―Pues entonces… ―dijo Aurelio un poco decepcionado.

―¡Ya está! ¡Se convierten en zombies! ―gritó Jorgelina, y añadió:― Así tendremos el tiempo necesario, porque un zombie puede durar lo que quieras.

―¿Zombies? Yo pensaba que la serie intentaba divulgar de forma amena el conocimiento científico riguroso, aprovechar para enseñar matemáticas aplicadas, epidemiología, algo de simulación de sistemas… ―dijo Aurelio con tristeza.

―Ahora lo entiendo, Au ―dijo Jorgelina con condescendencia.

―¿Entiendes lo que quiero decir? ―se ilusionó Aurelio, abriendo los ojos.

―Entiendo que no encontraras novia en la uni, Au ―dijo Lucas, entornando los suyos.